围棋小游戏
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快到国庆节了，发送些有趣的数学小问题，为您的节假日增添些许快乐。
在一个圆上均匀放置四枚围棋子。我们的操作规则是：在相邻两颗棋子之间圆弧的中点放上一枚棋子，要求是，如果相邻两枚棋子同色（均黑或均白），则在它们之间放上的这枚棋子为黑色，否则，即相邻两枚棋子异色（一黑一白），则它们之间放上的一枚棋子为白色。于是，在四枚棋子之间共放入了四枚棋子，然后把原来四枚棋子拿掉。这时圆上又是四枚均匀分布的棋子。继续上面的操作。我们的结论是，至多四次这样的操作，就能使得圆上的四枚棋子均为黑色棋子。
在证明之前我们先来举个例子，让您有个感性认识。如下图所示，开始时是一黑三白。按规则，我们应该在第1，2，3，4号位置上放置新的围棋子。
按规则，位置1和位置4应该都放白子；位置2和位置3应该都放黑子。原来四枚棋子被拿掉。设被拿掉棋子的位置为第5，6，7，8号。结果如下图，这是第一次操作后。
接下来进行第二次操作，结果如下：
下面是第三次操作的结果：
第四次操作结果如下，它已经是全黑了。
您可以试一试开局是其他黑白组合情况。下面我们用倒推的方法证明题目中的结论。
我们从最后的“四黑”进行倒推。它之前的状态一定是“四白”，如下图所示。
下面来倒推上图“四白”之前的状态，也就是倒推出上图中A、B、C、D位置上原来的棋子应该是什么颜色的。这样来想：原来位于A、B、C、D位置上的棋子肯定不会都是白的，所以至少有一枚黑棋。不失一般性，我们不妨设位置A处被拿掉的棋子是黑色的。从而推出位置B和位置D上原来的棋子一定都是白色的（只有这样才能使上图中上面两个棋子是白色的）。继而推出位置C上原来的棋子是黑色的。所以，上图（“四白”）的前一状态一定是“黑白交替”的，如下图所示。
那么上图状态之前的状态又是什么样子的呢？这样考虑：因为上图中E、F、G、H的地位是等价的，所以，我们可以假设位置E上原来的棋子为黑色的。从而可以推知位置F上原来的棋子为白色，位置H上原来的棋子为黑色，位置G上原来棋子为白色。其实就是“两黑相邻-两白相邻”状态，如下图所示：
上图所示状态之前的状态是什么呢？这样考虑：如果位置L上原来是黑子，则位置I和位置K上也都是黑子，而位置J上一定是白子，即“三黑一白”。若位置L上是白子，则位置I和位置K上都是白子，而位置J上是黑子，即“一黑三白”。如下图所示（两图反对称，所以，在规则要求下放棋子，它们是一回事，即对它们进行规定的操作，结果都是“两黑相邻-两白相邻”。）
好的，我们现在若把上图中要么左图“三黑一白”要么右图“一黑三白”作为初始状态，那么，由上面的倒推分析可知，四次操作后必然得到“四黑”。我们可以不考虑初始状态是“四黑”和“四白”这两种情况，那么，有黑也有白的组合共有四种情况：“三黑一白”、“一黑三白”、“两黑相邻两白相邻”和“黑白交替”。前两种经过四次操作可以得到“四黑”，而后两种情况都位于从“三黑一白”（或“一黑三白”）到“四黑”演变的路上，它们到达“四黑”的操作次数比四还要少。所以，最终我们就证明了我们的结论：不管四枚围棋子在一个圆上的排列是怎样的，最多通过四次规定的操作，必能得到四个棋子都是黑色的状态。
