正四面体内切球半径
微信朋友圈昵称为“东野叔叔”的朋友问到了这样一个问题：正三棱锥的内外心的位置相同吗？（注：他问的应该是外接球和内切球球心是否重合？）
要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.
1正三棱锥
请看正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.
满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念—-正四面体混淆.
正四面体的要求比正三棱锥更要.
每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.也可以这样说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
2确定二心的位置
下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.
在《你一直要的外接球解决方案》中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.
这是处理问题的方法之一.
今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.
基本的规律可小结如下：
正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
我们利用第这结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.
3实栗说明外接球球心
举一个具体栗子来说明.
外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.
从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.
4实栗说明内切球球心
再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.
下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.
5二心何时重合？
回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗？
显然，多数情况下是不重合的.
有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢？
为了回答这个问题，我们作一般化的推导.
若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.
画出图来是这样滴.
此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.
推荐阅读：含两个绝对值的线性目标函数
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