三元一次方程
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8.10三元一次方程组
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学习目标
1、知道三元一次方程(组)的概念.
2、知道三元一次方程(组)解的概念.
3、三元一次方程组有关的题型.
复习引入
1.解二元一次方程组有哪几种方法?
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么?
二元一次方程组代入消元和加减消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
思考:
若含有3个未知数的方程组如何求解?
交流:
x+y+z=12;
x+2y+5z=22;
x=4y
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系?
三元一次方程及三元一次方程组的概念
方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且是整式方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
例如:x+y+z=12;
x+2y+5z=22;
x=4y
是三元一次方程组.
三元一次方程组的解
类似二元一次方程组的解,三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢?
x+y+z=12;
x+2y+5z=22;
x=4y
能不能像以前一样“消元”,把“三元”化成“二元”呢?
解:把方程③分别代入①②,得
5y+z=12;
6y+5z=22
解这个方程组,得
y=2;
z=2
把y=2;
z=2带入①,
得 x=8
因此,三元一次方程组的解为
x=8;
y=2;
z=2
变式:
x+y+z=12;
x+2y+5z=22
中,x,y,z均为正整数,
求x,y,z
解:②-①得:
y+4z=10
移项得:
y=10-4z
∵x,y,z均为正整数
∴z=1时,y=6;
z=2时,y=2
∴?=?
?=?
?=?
?=?
?=?
?=?
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行______,把______转化为______,使解三元一次方程组转化为解______,进而再转化为解______.
例1:解方程组
3x+4z=7①
2x+3y+z=9②
5x-9y+7z=8③
解:②×3+③得
11x+10z=35. ④
①与④组成方程组
3x+4z=7;
11x+10z=3
解这个方程组,得
x=5,
z=-2
把x=5,
z=-2
代入②,得
y=1/3
因此,三元一次方程组的解为
x=5,
y=1/3,
z=-2
思考题:你还有其它解法吗?试一试,并比较那一种解法简单
例2:在等式 y=ax2+bx+c中,
当x=-1时,y=0;
当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60.
求a,b,c的值.
当堂练习
1.解方程组
x+y-z=11;
y+z-x=5;
z+x-y=1,
则x=_____,y=______,z=_______.
【解析】通过观察未知数的系数,可采取① +②求出y, ②+ ③求出z,最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
2.若x+2y+3z=10,
4x+3y+2z=15,
则x+y+z的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析: 通过观察未知数的系数,可采取两个方程相加得,5x+5y+5z=25,所以x+y+z=5.
3.若|a-b-1|+(b-2a+c)2+|2c-b|=0,
求a,b,c的值.
解:因为三个非负数的和等于0,所以每个非负数都为0.
可得方程组
课堂小结
1.三元一次方程及三元一次方程组的概念是什么?
2.解三元一次方程组的基本思路与方法是什么?
3.解三元一次方程组的一般步骤是什么?
作业:
一个三位数,十位上的数字是个位上的数字的2倍少8,百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495,求原三位数.
解:设个位数字为x,十位数字为y.百位数字为z.则
?=????;
?+?=?+?;
????+???+??(????+???+?)=???
解得: ?=?;?=?;z=?
所以,这个三位数是267
END
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